二维有局部阻尼波方程关于空间无穷远处的快速能量衰减

我们考虑 ${\bf R}^{2}$ 中局部阻尼波方程的 Cauchy 问题。阻尼仅在空间无穷远处有效。我们获得 $t \to \infty$ 时 $O(t^{-2}\log t)$ 的快速能量衰减估计。与二维外部混合问题的情况不同,无法使用 Hardy 型不等式的困难,通过使用所有空间中的 Poincaré 型不等式和解的有限传播性质来构建估计公式。在二维情形下,将整个空间的问题与外部域的问题进行比较时,发现前者需要对能量衰减率进行对数修正。