一维 Zakharov 与 Klein-Gordon Zakharov 系统的衰减问题

我们关注标量 Zakharov 系统 $$i u_{t} + \Delta u = nu,$$ $$n_{tt} - \Delta n= \Delta |u|^2$$ 与 Klein-Gordon Zakharov 系统 $$u_{tt} - \Delta u + u = - nu,$$ $$n_{tt} - \Delta n= \Delta |u|^2$$ 在空间一维情形中解的长时渐近行为。对这两个系统，我们给出两个证明能量空间中初值解衰减的结果。第一个结果处理在紧区间上的衰减，假设小性与奇偶性条件（$u$ 为奇函数）。第二个结果证明在远场区域沿曲线的衰减，适用于其增长可被一个递增的 $C^1$ 函数控制的解。证明最后一个关于 Zakharov 系统的结果无需小性条件。我们的论证依赖于对方程合适的 virial 恒等式的使用，并遵循 Kowalczyk-Martel-Muñoz 与 Muñoz-Ponce-Saut 的技巧。