一类非局部色散方程的整体正则性与波破碎现象

本文研究一类非局部色散模型——由 H. Liu 提出的 θ-方程 [On discreteness of the Hopf equation, {\it Acta Math. Appl. Sin.} Engl. Ser. {\bf 24}(3)(2008)423--440]: $$(1-\partial_x^2)u_t+(1-\theta\partial_x^2)(\frac{u^2}{2})_x =(1-4\theta)(\frac{u_x^2}{2})_x,$$ 该方程包含可积方程如 Camassa-Holm 方程 ($\theta=1/3$) 和 Degasperis-Procesi 方程 ($\theta=1/4$) 作为特例。我们研究了 $\theta \in \mathbb{R}$ 时解的整体正则性与波破碎现象。结果表明，随着 $\theta$ 增加，解的正则性提高：(i) $0 <\theta < 1/4$ 时，当初始数据的动量满足特定符号条件时，解会爆破；(ii) $1/4 \leq \theta < 1/2$ 时，当初始数据的斜率在某点为负时，解会爆破；(iii) ${1/2} \leq \theta \leq 1$ 且 $\theta=\frac{2n}{2n-1}, n\in \mathbb{N}$ 时，强解整体存在。此外，若初始数据的动量具有确定符号，则对任意 $\theta\in \mathbb{R}$，相应解的整体光滑性得以证明。证明要么基于某些整体不变量的使用，要么基于对涉及解导数的量之有利符号条件的探索。本文还给出了任意 $\theta \in \mathbb{R}$ 时整体弱解的存在唯一性结果。对于某些参数范围，本文结果等价于已知的 b-方程结果 [例如 J. Escher 和 Z. Yin, Well-posedness, blow-up phenomena, and global solutions for the b-equation, {\it J. reine angew. Math.}, {\bf 624} (2008)51--80.]。