超曲面上的 Laplace-Beltrami 方程与 $\Gamma$-收敛

我们研究了 $\mathbb{R}^3$ 中具有边界且中间超曲面为 $\mathcal{C}$ 的薄层内稳态热传导方程的混合边值问题。主要目标是追踪当层厚度收敛于零时 $\Gamma$-极限发生的情况。我们明确描述了超曲面上 Laplace-Beltrami 方程的极限 Dirichlet 边值问题，并展示了初始边值问题中的 Neumann 边界条件如何在 $\Gamma$-极限中变换。为此，我们应用了变分公式以及超曲面和层上 G"unter 切向微分算子的微积分，这使得基本微分算子及相应的边值问题能够用环境空间 $\mathbb{R}^n$ 的标准欧几里得坐标进行全局表示。