部分吸收介质中扩散的谱理论

近期基于相遇的方法已发展出研究部分吸收介质中单粒子扩散的概率框架。后者计算粒子位置 $\X_t$ 与指定粒子与反应性组分 $\calM$ 接触时间的布朗泛函 ${\mathcal U}_t$ 的联合概率密度（广义传播子）。一旦 $\calU_t$ 跨越随机分布的阈值（停止时间）即发生吸收。对传播子关于 $\calU_t$ 作拉普拉斯变换得到经典边值问题（BVP），其中反应性组分具有恒定吸收率 $z$，$z$ 为相应拉普拉斯变量。因此，基于相遇方法的关键步骤是求逆拉普拉斯变换。在反应性边界 $\partial \calM$ 情形下，这可通过求解关于Dirichlet-to-Neumann算子的谱分解的经典Robin BVP实现。本文我们发展反应性基底 $\calM$ 情形下的类似构造。特别地，我们证明拉普拉斯变换后的传播子可借助一对Dirichlet-to-Neumann算子的谱分解计算。然而，关于 $z$ 的逆拉普拉斯变换更为复杂。我们通过一个Dirichlet-to-Neumann算子退化为标量的1D例子阐释该理论。