三维不可压缩活性液晶的全局适定性与衰减率

本文研究了在常活性下三维不可压缩活性液晶的全局适定性与长时间行为，该模型由速度的受迫不可压缩 Navier-Stokes 方程和 $Q$ 张量序参数的抛物型方程组耦合而成。通过采用精细的交换子估计，对于小初始数据 $(Q_0,u_0)\in H^{s+1}\times H^s$ $(s\geq 2)$ 且活性 $c>c_\star$ 的情况，证明了全局强解的存在性与唯一性，这改进了 \cite{active-limit} 中的先前结果。此外，如果初始数据进一步属于 $L^1$ 且 $s\geq 4$，我们得到了关于 $\|\partial^kQ(t)\|_{L^2}$ 的混合衰减估计，它结合了与 $(c-c_\star)\Gamma$ 成比例的额外指数衰减因子和与热核一致的最优代数衰减率，其中 $k\leq s-1$。该结果揭示了，在高活性状态下，活性向列相以依赖于活性的指数收敛率变为各向同性，并且该估计在无限旋转粘性极限下（当 $\Gamma\rightarrow 0$ 时）是稳定的。同时，在附加初始假设下，对于 $k\leq s-2$ 也推导出了关于 $\|\partial^ku(t)\|_{L^2}$ 的尖锐衰减估计。证明是通过结合 Green 函数法和时间加权能量法建立的。据我们所知，这些结果是 Beris-Edwards 框架下针对活性/被动向列相液晶首次报道的结果，且取向场的增强衰减效应本质上源于自由能。此外，在被动设置下，我们的结果意味着热致液晶在高温下的相变。