类空间 $\mathscr{I}$ 处的自由数据与所有维度下 Kerr-de Sitter 的刻画

我们研究了具有非零宇宙常数的渐近 Einstein 度量的 Fefferman-Graham 展开中的自由数据。我们证明了若 $\mathscr{I}$ 共形平坦，则 $\mathscr{I}$ 处经重新标度的 Weyl 张量在相差一个常数意义下与 $\mathscr{I}$ 处的自由数据一致，即该展开的第 $n$ 阶系数的无迹部分。在非共形平坦情形中，经重新标度的 Weyl 张量在 $\mathscr{I}$ 处通常发散，但仍可借助适当构造度量的 Weyl 张量之差提取自由数据：当时空维度 $D$ 为偶数时完全一般性地成立，而当 $D$ 为奇数时须满足所谓的 $\mathscr{I}$ 处阻碍张量恒为零。这些结果给出了该数据的几何定义，尤其与具有正 $\Lambda$ 的偶数维 Einstein 度量的渐近 Cauchy 问题相关，也与奇数维解析情形无关 $\Lambda$ 符号而相关。我们建立了所有维度下解析数据在类空间 $\mathscr{I}$ 处的 Killing 初值方程。这些结果被用于根据零无穷远处的几何数据给出所有维度下 Kerr-de Sitter 度量的几何刻画。