任意维 Robinson-Trautman 与 Kundt 几何的代数结构

我们研究了允许存在无扭转且无剪切零矢量场 $k$ 的 $D$ 维几何全族中的 Weyl 张量代数结构。从曲率张量的坐标分量出发，我们显式推导了各种 boost 权重的所有 Weyl 标量。这使得我们能够在光学优先零方向 $k$ 为（多重）Weyl 对齐零方向 (WAND) 的情况下，对度规进行完整的代数分类。由于未应用任何场方程，因此结果不仅适用于爱因斯坦引力（包括其高维推广），也适用于任何允许存在无扭转且无剪切时空的度规引力理论。我们证明了所有此类几何均为 I(b) 型或更特殊类型，并推导出了 $k$ 为二重、三重或四重 WAND 的令人惊讶的简单充要条件。从而识别了所有可能的代数特殊类型，包括细分到子类型，即 II(a)、II(b)、II(c)、II(d)、III(a)、III(b)、N、O、IIi、IIIi、D、D(a)、D(b)、D(c)、D(d) 及其组合。某些条件在四维中恒成立。我们讨论了两个重要的子类，即膨胀为零 ($\Theta=0$) 的 Kundt 几何族和 Robinson-Trautman 几何族 ($\Theta\not=0$，特别是 $\Theta=1/r$)。最后，我们应用爱因斯坦场方程，获得了所有 Robinson-Trautman 真空时空的分类。这揭示了 $D>4$ 与 $D=4$ 情形之间的根本代数差异，即在高维中仅存在 D(a)=D(abd)、D(c)=D(bcd) 和 O 类型的此类时空。