一维莱维飞行对小目标的首达时间

首达时间(FHTs)描述随机“搜索者”找到“目标”所需的时间,并被用于研究许多应用中的时间尺度。对于扩散搜索,尤其是小目标情形(称为窄捕获或窄逃逸问题),FHTs已被充分研究。本文中,我们研究由莱维飞行描述的一维超扩散搜索对小目标的首达时间。通过将匹配渐近展开法应用于分数阶微分方程,我们得到了平均首达时间(MFHT)的显式渐近展开。对于分数阶阶数 $s\in(0,1)$(描述 $(2s)$ 稳定莱维飞行,其平方位移随时间 $t$ 按 $t^{1/s}$ 标度)以及半径 $\varepsilon\ll1$ 的目标,我们证明 MFHT 在 $s\in(1/2,1)$ 时为阶一,在 $s=1/2$ 时按 $\log(1/\varepsilon)$ 发散,在 $s\in(0,1/2)$ 时按 $\varepsilon^{2s-1}$ 发散。随后我们利用渐近结果确定了使平均 MFHT 最小的 $s\in(0,1]$ 值,并发现(a)该最优 $s$ 值在稀疏目标下趋于零,(b)仅在特定情形下 $s=1/2$(对应反平方莱维搜索)为最优。我们通过与相关分数阶微分方程的确定性数值解及随机模拟的对比验证了结果。