能量临界 Zakharov 系统 I：近似解的有限时间 blow up

我们构造了能量临界 4 维 Zakharov 系统的近似解 $(\psi_*, n_*)$，其在有限时间内坍缩为孤立 bulk 解 $(\lambda e^{i \theta}W, \lambda^2 W^2)$ 的奇异重整理。更确切地说，对 $N \in \mathbb{Z}_+, N \gg 1$，我们得到如下形式的磁场包/离子密度对：$$\psi_*(t, x)= e^{i\alpha(t)}\lambda(t) W(\lambda(t)x) + \eta(t, x), \;n_*(t,x) = \lambda^2(t) W^2(\lambda(t) x) + \chi(t,x),$$其中 $W(x) = (1 + \frac{|x|^2}{8})^{-1}$，$\alpha(t) = \alpha_0 \log(t)$，$\lambda(t)= t^{-\frac{1}{2}-\nu}$，其中 $\nu > 1$ 为较大值，进一步 $$i \partial_t \psi_* + \Delta \psi_* + n_* \psi_* = \mathcal{O}(t^N),\; \Box n_* - \Delta (|\psi_*|^2) = \mathcal{O}(t^N),\;\eta(t) \to \eta_0, \chi(t) \to \chi_0,$$ 当 $t \to 0^+$ 时以适当的方式。其构造方法灵感来自匹配渐近区域和近似程序，这些方法由首位作者与 W. Schlag 和 D. Tataru 合作引入，以及随后在 Schrödinger 语境下由 G. Perelman 等人发展的方法。