基于特征 Galerkin 方法的半拉格朗日不可积有限元方法中时依赖测试函数的误差分析

本文研究特征 Galerkin 型半拉格朗日不可积有限元（CSLDG）方法中由特征 ODE 求解器数值积分误差引起的时依赖测试函数误差及其对收敛性的影响。与经典有限元方法和标准 DG 方法不同，CSLDG 中的测试函数是通过特征回溯构造的。因此，ODE 误差不仅影响上游积分区域，还通过测试函数支撑域的扰动直接进入离散弱形式中。我们在不考虑网格几何误差的前提下，引入理想辅助解和保留测试函数误差的辅助解，并推导相应的误差方程和递归关系。首先，基于全局时依赖测试函数误差分析，我们证明满足 $D\ge 2K+3+d$ 的 ODE 求解器阶数即可保持 $P^K$-CSLDG 方法的最优 $L^2$ 收敛阶数。随后，我们提出一种基于局部模态系数误差传播的新型分析方法，通过实际模态更新公式对误差进行单元级控制，并恢复全局 $L^2$ 估计。这导致改进的充分条件 $D\ge K+1+\frac{d}{2}$。结果表明，所需的 ODE 精度对分析路径具有强烈依赖性，模态系数基于分析方法既更贴近实际实现，又更符合数值观察。