曲线边界上基于多边形网格的无限元方法的最优误差估计

我们考虑在具有曲线边界的二维域中求解边界值问题的数值离散 Galerkin 方法。此情境下的关键挑战在于，由于用多边形网格近似物理域，可能导致收敛阶数的下降。除非边界条件能够准确地从真实边界传递到计算边界，否则这种几何近似误差通常会导致次优收敛。为克服这一限制，基于多项式重构边界数据的高阶策略已在经典有限元方法[28, 29]和有限体积方法[7, 11]中引入。近期，这一方法被扩展到无限元方法[32]，形成 DG-ROD 方法，该方法在曲线边界的多边形域近似上恢复了最优收敛率。在本文中，我们对 DG-ROD 方法进行严格的理论分析，建立离散解的存在性和唯一性，并推导二维线性扩散-反应-扩散问题的误差估计，该问题在两个凸域和非凸域上具有齐次 Dirichlet 边界条件。跟随并扩展自经典有限元方法[29]的技术，我们证明在exact解满足适当光滑性假设的情况下，DG-ROD 方法尽管存在多边形近似，仍能实现最优收敛。最后，我们通过数值基准验证了理论结果。