具有特征和指数边界层的奇摄动对流扩散问题的局部间断 Galerkin 方法

研究了一个定义在 $\mathbb{R}^2$ 中单位正方形上的奇摄动对流扩散问题；其解同时具有指数型和特征型边界层。该问题在 Shishkin 网格上采用局部间断 Galerkin（LDG）方法进行数值求解。利用每个变量上次数至多为 $k>0$ 的张量积分段多项式，证明了 LDG 解与真解之间的误差在奇异摄动参数一致意义下，在相应的能量范数下以 $O((N^{-1}\ln N)^{k+1/2})$ 的速率收敛，其中 $N$ 为每个坐标方向上的网格区间数。（这是针对具有特征边界层问题所证明的 LDG 方法的第一个一致收敛结果。）此外，我们证明当度量 LDG 解与真解到有限元空间中的局部 Gauss–Radau 投影之间的能量范数差时，该收敛阶提升至 $O((N^{-1}\ln N)^{k+1})$。这一一致超紧性质给出了我们的 LDG 方法的最优 $L^2$ 误差估计阶 $(N^{-1}\ln N)^{k+1}$。数值实验显示了我们理论结果的尖锐性。