关于二阶导数的间断 Galerkin 离散化

本文展示了局部间断 Galerkin (LDG) 算法在计算给定函数 $f$ 的二阶导数 $g = f_{xx}$ 问题中的一些性质。（这是一个略显特殊的问题，但对于理解扩散方程算法的初始瞬态响应很有用。）LDG 利用辅助变量将该问题分解为两个一阶方程，然后类比用于平流算法的 DG 算法技术进行处理。这在解中引入了一种不对称性，其取决于这两个一阶方程的迎风方向选择。当使用分段线性基函数时，证明该 LDG 解 $g_h$ 在 $L_2$ 范数下不收敛，因为每个单元内的斜率发散。然而，当 LDG 用于时间相关的扩散问题时，二阶导数项中的这种误差是瞬态的并迅速衰减，因此总体误差是有界的。即，扩散方程 $\partial f / \partial t = f_{xx}$ 的 LDG 近似解 $f_h(x,t)$ 收敛于正确解（如前所示），即使初始变化率 $\partial f_h / \partial t$ 不收敛。我们还展示了恢复间断 Galerkin (RDG) 方法的结果，该方法能给出对称解，且在耦合相同数量单元的模板下具有更高的收敛速率。