求解分数阶对流扩散与 Schrödinger 型方程的直接间断 Galerkin 方法

我们开发了一种直接间断 Galerkin（DDG）有限元方法，用于求解带有阶数为 $\alpha$ $(1<\alpha<2)$ 的分数阶 Laplacian 算子的分数阶对流扩散与 Schrödinger 型方程。阶数为 $\alpha$ 的分数阶算子被表示为二阶导数与阶数为 $2-\alpha$ 的分数阶积分的复合。这些问题被表示为一个抛物型方程组和低阶积分方程组。这使我们能够应用 DDG 方法，该方法基于直接弱形式在每个计算单元内求解分数阶对流扩散与 Schrödinger 型方程，并仅通过数值通量 $(\partial_{x}u)^{*}$ 进行单元间的通信。此外，我们证明了一般分数阶对流扩散与 Schrödinger 问题的稳定性及最优收敛阶 $O(h^{N+1})$，其中 $h$、$N$ 分别为空间步长和多项式次数。DDG 方法具有易于构造和实现以及高阶精度的优势。最后，数值实验证实了该方法的理论结果。