局部间断 Galerkin 方法对奇摄动对流扩散问题的超紧性

本文在 $\mathbb{R}^2$ 中的单位正方形上数值求解一个奇摄动对流扩散问题，其解具有指数边界层，采用局部间断 Galerkin (LDG) 方法，在三类层适应网格（Shishkin 型、Bakhvalov-Shishkin 型和 Bakhvalov 型）上使用次数不超过 $k>0$ 的分片多项式。在 Shishkin 型网格上，已知该方法在弱形式双线性形式诱导的能量范数下精度不高于 $O(N^{-(k+1/2)})$，其中每个坐标方向使用 $N$ 个网格区间。（注：本摘要中所有界均关于奇摄动参数一致，并忽略详细分析中将出现的对数因子。）本文使用精细的论证，建立了在全部三类网格上 LDG 解与精确解在有限元空间中的局部 Gauss-Radau 投影之差的 $O(N^{-(k+1)})$ 能量范数超收敛性。该超紧性性质给出了 LDG 解在每类网格上与问题精确解之间 $L^2$ 误差的一个新的 $N^{-(k+1)}$ 界；该界是最优的（直至对数因子）。数值实验证实了我们的理论结果。