对流扩散方程的 $C^1$-协调 Petrov-Galerkin 方法及其在矩形网格上的超收敛分析

本文设计并分析了一种针对对流扩散方程的新型 $C^1$-协调 Petrov-Galerkin 方法。所提方法的试探空间为 $C^1$-协调的 ${\mathbb Q}_k$（即次数不超过 $k$ 的多项式的张量积）有限元空间，而检验空间取为 $L^2$（不连续）分片 ${\mathbb Q}_{k-2}$ 多项式空间。证明了数值解的存在唯一性，并建立了在所有 $L^2, H^1, H^2$ 范数下的最优误差估计。此外，研究了该新方法的超收敛性质，并通过严格的理论分析确定了在网格节点（函数值与导数均具有 $2k-2$ 阶）、特殊 Jacobi 多项式的根处以及 Lobatto 线与 Gauss 线处的超收敛点/线。为降低整体正则性要求，推导了在 $L^2, H^1, H^2$ 范数下的内部先验误差估计。数值实验验证了理论结果。