基于可变步长的线性BDF2格式的能量耗散律与最大界原理保持

在本文中，我们提出并分析了一种用于求解Allen-Cahn方程的线性、结构保持的标量辅助变量（SAV）方法，基于具有可变时间步长的二阶后向差分公式（BDF2）。为此，我们首先设计了一种新型且必需的辅助功能，服从双重功能：（i）确保对辅助变量的一阶近似值——这在推导无条件能量耗散律方面至关重要——不影响相函数$\phi$的二阶时间精度；（ii）允许我们开发有效的稳定项，有助于建立保持最大界原理的线性方法。结合这种新型功能和标准中心差分 Stencil，我们提出了一种线性、二阶可变步长BDF2类型稳定指数SAV方案，即BDF2-sESAV-I，其在时间步长比$\tau_{k}/\tau_{k-1}$满足$0 < r_{k} < 4.864 - \delta$（其中$\delta$为正常数）时保持离散修改能量耗散律，同时在$0 < r_{k} < 1 + \sqrt{2}$时保持最大界原理。此外，还提供了对原始能量通过修改能量的近似分析。借助核重组合技术，严格建立了可变步长BDF2-sESAV-I方案的最优$H^{1}$-和$L^{\infty}$-范数误差估计。进行数值实验以验证理论结果并展示所提出方案的有效性和效率。