二维力学的 Eisenhart 提升

Eisenhart 提升是经典力学几何化的一种变体，针对具有 $d$ 个自由度的系统，其运动方程被嵌入到定义在具有洛伦兹签名的 $(d+2)$ 维时空上的 Brinkmann 型度规的测地线方程中。本文研究了弯曲背景下二维力学的 Eisenhart 提升。相应的 $4$ 维度规由两个标量函数控制，它们恰为原动力系统的共形因子与势。我们推导了一个共形对称性及与之关联的二次积分，其与 Eisenhart 提升相关。构造了能量-动量张量，其与度规一起给出了爱因斯坦方程的解。讨论了二维超可积模型的提升，特别侧重于隐藏对称性问题。结果表明，对于二维 Darboux--Koenigs 度规，仅 I 型可产生满足弱能量条件的 Eisenhart 提升。不过，也给出了一些具有隐藏对称性的物理上可行的度规。