一阶均值场博弈的微分与变分方法

我们在广泛且通用的框架下研究了 torus 上的时变一阶均值场博弈，将经典的微分形式（由 Hamilton-Jacobi 方程与连续方程耦合而成）与基于作用于轨迹概率测度的多值映射固定点所构成的变分方法进行比较。我们证明了对于非常一般的 Hamilton 量，固定点的存在性。当 Hamilton 量关于动量可微时，我们展示了任意这样的固定点的评估曲线求解一个由最终条件中关联向量场驱动的连续方程。该向量场无需对解 Hamilton-Jacobi 方程的值函数施加额外的正则性条件。该向量场在解 Hamilton-Jacobi 方程的值函数在空间可微点处的空间-时间区域中，与均值场系统的经典向量场一致。我们的分析因此提供了一个统一的框架，将微分和变分观点在均值场博弈中相连，表明聚合最优条件自然导致在动量变量可微的唯一假设下，连续方程描述。