平均场规划问题的变分方法

我们研究如下形式的一阶平均场规划问题 \begin{equation} \left\lbrace\begin{aligned} -\partial_t u + H(x,Du) &= f(x,m) &&\text{in } (0,T)\times \mathbb{R}^d, \\ \partial_t m - \nabla\cdot (m\,H_p(x,Du)) &= 0 &&\text{in }(0,T)\times \mathbb{R}^d,\\ m(0,\cdot) = m_0, \; m(T,\cdot) &= m_T &&\text{in } \mathbb{R}^d, \end{aligned}\right. \end{equation} 其关联一个具有二次增长的凸哈密顿量 $H$ 以及一个具有多项式增长的单调相互作用项 $f$。我们利用该系统的变分结构，它编码了关于未知密度 $m$ 的凸动态最优熵-传输问题的以及其对偶问题（涉及在 Hamilton-Jacobi 方程的所有子解 $u$ 中最大化一个积分泛函）的一阶最优性条件。结合最优传输、凸分析与连续性方程的重整化解的思想，我们将证明弱解 $(m,u)$ 的存在性与（至少部分的）唯一性。我们方法的关键步骤依赖于对形如 $-\partial_t u + H(x,Du) \leq \alpha$ 的 Hamilton-Jacobi 方程的分布式子解在 $\alpha$ 最小可和性条件下的细致分析，以及通过合适的接触缺陷测度对最优性的测度论描述。最后，利用叠加原理，我们能够通过路径空间上刻画局中人局部行为的测度来描述该系统的解。