一阶局部耦合动力学平均场博弈的变分方法

一阶动力学平均场博弈在形式上描述了确定性微分博弈的纳什均衡，其中智能体控制其加速度，在智能体数量趋于无穷的极限下渐近成立。已知关于控制加速度的平均场博弈适定性理论的结果，要么假设运行成本和终值成本是密度变量的正则化泛函，要么假设存在噪声，即二阶系统。在本文中，我们构造了一类含动力学传输算子的首阶平均场博弈系统的全局弱解，其中成本是关于密度变量的局部（因而非正则化）函数且具有多项式增长。我们证明了这些解在智能体密度支撑集上的唯一性。这是通过用对偶的两个凸优化问题来刻画解而实现的。作为我们方法的一部分，我们发展了在非紧域上用变分方法分析平均场博弈的工具。我们引入了由初始测度构造的“可达集”概念，使我们能处理有或没有紧支撑的初始测度。以此方式，我们能够对仅是有界连续初始测度的最小化序列获得关键估计。随后将这些估计与动力学理论中 $L^1$ 型平均引理仔细结合，以获得最小化序列的预紧性。最后，在数据更强的凸性和单调性假设下，我们证明了解的高阶 Sobolev 估计。