网络上的二阶平均场博弈

本文致力于研究状态空间为网络的有限 horizon 确定性平均场博弈。智能体控制其速度，当它们占据一个顶点时，可以进入任意关联的边。运行成本和终端成本假设在每条边上连续，但不必在网络上全局连续。提出并研究了一种拉格朗日表述。它导出了由 admissible 轨迹上的概率测度构成的松弛均衡。获得了此类松弛均衡的存在性。证明需要最优轨迹的存在性，以及将每一点映射到从该点出发的最优轨迹集合的映射的闭图性质。任意松弛均衡对应于平均场博弈的一个温和解，即由相关最优控制问题的价值函数 $u$ 和网上的概率测度族 $m=(m(t))_t$ 组成的对 $(u,m)$。给定 $m$，价值函数 $u$ 由网络上的哈密顿-雅可比问题刻画。研究了 $u$ 的正则性性质以及 $m$ 满足的福克-普朗克方程的弱形式。