不可微哈密顿量时间相关平均场博弈的有限元逼近

平均场博弈(MFG)的偏微分方程组标准表述要求哈密顿量可微。然而在许多情况下，底层最优问题的结构导致凸但不可微的哈密顿量。对于时间相关 MFG 系统，我们通过将哈密顿量的导数解释为次微分集，引入将该问题推广为偏微分包含(PDI)的表述。特别地，我们在文献中的标准假设下证明了所得 MFG PDI 系统弱解的存在性与唯一性。我们提出了该问题的单调稳定化有限元离散，空间上使用协调仿射元，时间上使用带质量集中(mass-lumping)的隐式欧拉离散。我们证明了值函数逼近在 $L^2(H^1)$ 中的强收敛，以及密度函数逼近在 $L^p(L^2)$ 中的强收敛，连同值函数逼近在初始时刻的强 $L^2$ 收敛。