Crouzeix-Raviart 单元的临界函数与 Inf-Sup 稳定性

在本文中，我们证明多项式阶 $p\geq5$、$p$ 为奇数的 Crouzeix-Raviart 有限元在三角形剖分上对 Stokes 问题是 inf-sup 稳定的。对于 $p\geq4$、$p$ 为偶数，稳定性由 \'{A}. Baran 和 G. Stoyan 于 2007 年利用\textit{宏单元技术}、\textit{维数公式}、三角剖分中\textit{临界点}的概念以及相应\textit{临界函数}的表示所证明。Baran 和 Stoyan 证明了这些临界函数属于作用于 Crouzeix-Raviart 速度函数的散度算子的值域，且宏单元技术蕴含了 inf-sup 稳定性。将该理论推广至涵盖奇数多项式阶 $p\geq5$ 是复杂的；原因之一是曾用于偶数 $p$ 的宏单元类不适用于奇数 $p$。在本文中，我们引入了一种奇数次非协调 Crouzeix-Raviart 基函数的新的简单表示。我们仅采用一类宏单元并推导了所有可能临界函数的表示。最后，我们表明它们位于作用于 Crouzeix-Raviart 速度的散度算子的值域中，由此得出离散化的稳定性。