基于 Crouzeix-Raviart 逼近与惩罚法的滑移边界条件下 Stokes 方程

在光滑区域 $\Omega \subset \mathbb R^N \, (N=2,3)$ 中考虑带非齐次滑移边界条件的 Stokes 方程。我们提出一种有限元格式,基于非协调 P1/P0 逼近(Crouzeix-Raviart 逼近)并结合惩罚公式以及降阶数值积分,以处理本质边界条件 $u \cdot n_{\partial\Omega} = g$ 在 $\partial\Omega$ 上。由于在应用有限元方法之前必须将原始区域 $\Omega$ 用多边形(或多面体)区域 $\Omega_h$ 逼近,我们需要考虑由于差异 $\Omega \neq \Omega_h$ 引起的误差,即区域扰动问题。特别地,$n_{\partial\Omega}$ 由 $n_{\partial\Omega_h}$ 逼近使得我们是否具有提升定理的离散对应(即法向迹算子 $H^1(\Omega)^N \to H^{1/2}(\partial\Omega)$; $u \mapsto u\cdot n_{\partial\Omega}$ 的右连续逆)变得不平凡。本文中我们确实证明了这样一个离散提升定理,利用非协调逼近的优势,并由此建立了速度在 $H^1$-和 $L^2$-范数下分别为 $O(h^\alpha + \epsilon)$ 和 $O(h^{2\alpha} + \epsilon)$ 的误差估计,其中若 $N=2$ 则 $\alpha = 1$,若 $N=3$ 则 $\alpha = 1/2$。这改进了先前文献 [T. Kashiwabara et al., Numer. Math. 134 (2016), pp. 705--740] 中关于协调逼近的结果,在于估计中不再出现惩罚参数 $\epsilon$ 的倒数。