三维Stokes流中二阶与三阶非协调有限元法

本研究构造并利用了二阶与三阶非协调有限元求解Stokes问题。四面体所有面上的直至$k-1$阶（$k=2,3$）矩被用作自由度（DoFs）以构造具有显式表示的$P_{k+1}$气泡函数空间的单射$k$阶非协调有限元。证明了$k$阶元与不连续分片$P_k$的组合在保持单元散度自由条件下对求解Stokes问题是稳定的。建立离散inf-sup条件的主要困难在于通常的Fortin算子无法构造。得益于气泡函数的显式表示，证明其散度空间等于四面体上关于$P_k$的常数正交补空间，这在克服上述困难中起重要作用，并导出离散问题的良好适定性。此外，设计了一种具有不连续分片$P_{k-1}$的降阶$k$阶非协调有限元，并证明其对求解Stokes问题稳定。缺乏Fortin算子给分析降阶三阶元组合的离散inf-sup条件带来困难。为此，采用所谓的宏元技术，辅以关于宏元上离散速度空间散度相对于离散压力空间的正交补空间中函数性质的关键代数结果。提供了数值实验以验证理论结果。