具有非线性速度耦合的奇异 Cucker-Smale 模型中的避碰

避免碰撞是 Cucker-Smale (CS) 集群模型的一个有趣特性，已在许多文献中研究，例如 [1, 2, 4, 6, 7, 20, 21, 22]。特别地，在个体间存在奇异相互作用的情况下，如通信权重为 $\psi(s)=s^{-\alpha}$（$\alpha \geq 1$）类型的 CS 模型，它对于证明底层粒子动力学的整体适定性十分重要。在 [4] 中，针对线性 CS 模型（即个体 $i,j$ 间速度耦合为 $v_{j}-v_{i}$）给出了奇异相互作用下无碰撞性质的证明。本文可视为对 [4] 中分析的一个推广。我们表明，即使 CS 系统中的线性耦合被 [12] 中引入的非线性项 $\Gamma(\cdot)$ 替代（典型例子为 $\Gamma(v)=v|v|^{2(\gamma -1)}$，其中 $\gamma \in (\frac{1}{2},\frac{3}{2})$），粒子仍避免碰撞，并证明当 $\alpha \geq 1$ 时有限时间内不会发生碰撞。我们还给出了最小粒子间距的一致估计，针对具有扩展奇异性的通信权重 $\psi_{\delta}(s)=(s-\delta)^{-\alpha}$，当 $\alpha \geq 2\gamma$、$\delta \geq 0$ 时。