黎曼假设下 $S(t)$ 与 $S_1(t)$ 的界

设 $\pi S(t)$ 表示 Riemann zeta 函数 $\zeta(s)$ 在点 $s=\frac{1}{2}+it$ 处的辐角。假设黎曼假设成立，我们给出了大 $t$ 时界 $$|S(t)| \leq \left(\tfrac{1}{4} + o(1) \right)\tfrac{\log t}{\log \log t}$$ 的两种证明。这将 Goldston 和 Gonek 的结果改进了 2 倍。第一种方法利用 Carneiro、Littmann 和 Vaaler 构造的极值函数对辅助函数 $S_1(t) = \int_0^{t} S(u) du$ 进行界定。随后，我们将 $S(t)$ 的大小与函数 $S_1(t\pm h)-S_1(t)$ 的大小联系起来，其中 $h\asymp 1/\log\log t$。另一种方法直接界定 $S(t)$，依赖于奇函数 $f(x) = \arctan\left(\tfrac{1}{x}\right) - \tfrac{x}{1 + x^2}$ 的 Beurling-Selberg 极值问题的解。这借鉴了 Carneiro 和 Littmann 的最新工作。