黎曼假设下 $S_n(t)$ 的界

设 $S(t) = \tfrac{1}{\pi} \arg \zeta (\frac12 + it)$ 为黎曼 $\zeta$ 函数在点 $\tfrac12 + it$ 处的辐角。对于 $n \geq 1$ 和 $t>0$，定义其迭代 \begin{equation*} S_n(t) = \int_0^t S_{n-1}(\tau) \,{\rm d}\tau\, + \delta_n\,, \end{equation*} 其中 $\delta_n$ 是依赖于 $n$ 的特定常数，且 $S_0(t) := S(t)$。1924 年，J. E. Littlewood 在黎曼假设 (RH) 下证明了 $S_n(t) = O(\log t/ (\log \log t)^{n+1})$。直到今日，该估计的量级从未得到改进。$S(t)$ 和 $S_1(t)$ 的最佳界限目前归功于 Carneiro、Chandee 和 Milinovich。在本文中，我们在 RH 下建立了该估计的显式形式 \begin{equation*} -\left( C^-_n + o(1)\right) \frac{\log t}{(\log \log t)^{n+1}} \ \leq \ S_n(t) \ \leq \ \left( C^+_n + o(1)\right) \frac{\log t}{(\log \log t)^{n+1}}\,, \end{equation*} 适用于所有 $n\geq 2$，其中常数 $C_n^{\pm}$ 随 $n \to \infty$ 呈指数快速衰减。这改进了（对于所有 $n \geq 2$）Wakasa 的结果，后者此前获得的界限常数在 $n \to \infty$ 时趋向于一个稳定值。我们的方法在 $n$ 为奇数时使用了源自 Carneiro、Littmann 和 Vaaler 的高斯从属框架的指数型特殊极值函数，而在 $n$ 为偶数时使用了优化的插值论证。在最后一节中，我们将这些结果推广到一类一般的 $L$-函数。