黎曼假设下 $S_n(t)$ 的二阶矩

令 $S(t) = \tfrac{1}{\pi} \arg \zeta \big({1/2} + it \big)$ 为黎曼 zeta 函数在点 $\tfrac12 + it$ 处的辐角。对 $n \geq 1$ 与 $t>0$，将其原函数定义为 \begin{equation*} S_n(t) = \int_0^t S_{n-1}(\tau) \hspace{0.08cm} \rm d\tau + \delta_n, \end{equation*} 其中 $\delta_n$ 是依赖于 $n$ 的特定常数，且 $S_0(t) := S(t)$。1925 年，J. E. Littlewood 在黎曼假设下证明了，对 $n\geq 1$ 有 $$\int_{0}^{T}|S_n(t)|^2 \hspace{0.06cm} \rm dt = O(T).$$ 1946 年，Selberg 无条件地建立了 $S(t)$ 与 $S_1(t)$ 二阶矩的显式渐近公式。Fujii 将其推广到 $n\geq 2$ 时的 $S_n(t)$。在黎曼假设下，我们对 $n\geq 1$ 给出了 $S_n(t)$ 二阶矩含二阶项的显式渐近公式。我们的结果在假设下改进了 Selberg 与 Fujii 的公式，并推广了 Goldston 于 1987 年考虑 $n=0$ 情形的先前工作。