现代计数几何导论及其在香蕉流形上的应用

香蕉流形 $X_{\text{ban}}$ 是一个光滑射影 Calabi-Yau 三维流形，通过阿贝尔曲面纤维化于 $\mathbb{P}^{1}$ 上。每个奇异纤维包含一个“曲线的香蕉构型”，它生成了支撑于 $X_{\text{ban}}\to\mathbb{P}^{1}$ 纤维中的曲线类的秩三格 $\Gamma$。$X_{\text{ban}}$ 在纤维类中的 Donaldson-Thomas 配分函数由 J. Bryan（arXiv:1902.08695）计算为无穷乘积 $$Z_{\text{DT}}(X_{\text{ban}})_{\Gamma}= \prod_{d_{1},d_{2},d_{3}\geq0}\prod_{k\in\mathbb{Z}}\big(1-Q_{1}^{d_{1}}Q_{2}^{d_{2}}Q_{3}^{d_{3}}t^{k}\big)^{-12c(||\underline{\bf{d}}||,k)}$$ 其中 $||\underline{\bf{d}}||=2d_{1}d_{2}+2d_{1}d_{3}+2d_{2}d_{3}-d_{1}^{2}-d_{2}^{2}-d_{3}^{2}$，且 $c(||\underline{\bf{d}}||,k)$ 为 $\mathbb{C}^{2}$ 的等变椭圆亏格的系数。我们观察到，在变量替换下，$Z_{\text{DT}}(X_{\text{ban}})_{\Gamma}$ 在形式上表现为等变椭圆亏格的 Borcherds 提升。本论文的主要结果是，亏格 $g\geq2$ 的相应 Gromov-Witten 势 $F_{g}$ 是权为 $2g-2$ 的亚纯 genus two Siegel 模形式。它们作为权为 $2g-2$、指标为 1 的弱 Jacobi 形式的 Maass 提升出现，这些弱 Jacobi 形式源于椭圆亏格在等变参数展开中的项。我们证明了 $\mathbb{C}^{2}$ 的等变椭圆亏格编码了 $X_{\text{ban}}$ 的 Gopakumar-Vafa 不变量。因此，可将 $X_{\text{ban}}$ 视为一个例子：其中纤维类中 Gromov-Witten 与 Donaldson-Thomas 不变量的生成函数由编码 Gopakumar-Vafa 不变量的模对象的标提升产生。我们注意到，由于这是一篇硕士论文，前六章提供了对相关背景材料的扩展介绍，而原创结果在最后一章给出。