香蕉纳米流形的枚举几何与算术

香蕉流形是由 Abel 曲面纤维化的 Calabi-Yau 三维流形, 其奇异纤维包含香蕉配置: 三条有理曲线相互在两个点相交。纳米流形是指 h^{1,1}(X)+h^{2,1}(X)\leq 6 的 Calabi-Yau 三维流形 $X$。我们构造了四个刚性香蕉纳米流形 $\tilde{X}_N$, $N\in \{5,6,8,9\}$, 每个流形的 Hodge 数为 $(h^{1,1},h^{2,1})=(4,0)$。我们计算了香蕉曲线类对应的 Donaldson-Thomas 分区函数, 并证明其关联的 genus $g$ Gromov-Witten 潜能是特定离散子群 $P^{*}_{N} \subset Sp_{4}(\mathbb{R})$ 的 genus 2 纺织模形式。我们还计算了权重为 4 的模形式, 其 $p$ 次傅里叶系数由 $\tilde{X}_N$ 在几乎所有素数 $p$ 上的 Frobenius 作用在 $H^{3}_{et }(\tilde{X}_N ,{\mathbb{Q}}_{l})$ 上的迹给出。我们观察到这一模形式是 $\Gamma_{0}(N)$ 上唯一的权重 4 cusp 形式。