香蕉流形的亏格零 Gopakumar-Vafa 不变量

香蕉流形 $X_{\text{Ban}}$ 是一个紧致 Calabi-Yau 三维流形，构造为一般有理椭圆曲面与自身纤维积的锥点消解，由 Bryan 首次研究。我们计算了香蕉流形 $X_{\text{Ban}}\to \mathbf{P}^1$ 上纤维曲线类的 Katz 亏格 0 Gopakumar-Vafa 不变量。权为 -2、指标为 1 的弱 Jacobi 形式是这些亏格 0 Gopakumar-Vafa 不变量对应的生成函数。这些不变量被证明是对 $X_{\text{Ban}}\to \mathbf{P}^1$ 奇异纤维泛覆盖上某些可能非约化的亏格 0 曲线的结构层的一个实际计数。