香蕉流形的Donaldson-Thomas配分函数

香蕉流形是一种紧致Calabi-Yau三维流形，由阿贝尔曲面纤维化而成，其奇异纤维的奇异轨迹由“曲线香蕉构型”给出。一个基本例子是$X_{ban}$，即一般有理椭圆曲面$S\to \mathbb{P}^{1}$与自身纤维积沿对角线的爆破。本文中，我们给出了香蕉流形$X_{ban}$限制于支撑在$X_{ban}\to \mathbb{P}^{1}$纤维中的三维曲线类格点$\Gamma$上的Donaldson-Thomas配分函数的闭公式。它由$$Z_{\Gamma}(X_{ban}) = \prod_{d_{1},d_{2},d_{3}\geq 0} \prod_{k} \left(1-p^{k}Q_{1}^{d_{1}}Q_{2}^{d_{2}}Q_{3}^{d_{3}}\right)^{-12c(||\mathbf{d} ||,k)}$$给出，其中$||\mathbf{d} || = 2d_{1}d_{2}+ 2d_{2}d_{3}+ 2d_{3}d_{1}-d_{1}^{2}-d_{2}^{2}-d_{3}^{2}$，且系数$c(a,k)$的生成函数由显式的theta函数之比给出。该公式具有有趣的性质，并与$\operatorname{Hilb} (\mathbb{C}^{2})$的等变椭圆亏格密切相关。在S. Pietromonaco撰写的附录中，证明了相应的亏格$g$ Gromov-Witten势$F_{g}$是权为$2g-2$的2维Siegel模形式（$g\geq 2$）；即它是Eisenstein级数倍数的Skoruppa-Maass提升：$\frac{6|B_{2g}|}{g(2g-2)!} E_{2g}(\tau )$。