三维流形内纯二维层的不变量与模形式

受弦论中 S-对偶模性猜想的启发，我们在三种不同情形下研究了非奇异三维流形 $X$ 内纯二维层的 Donaldson-Thomas 型不变量：(1) $X$ 是曲线上的 K3 纤维化。我们研究了 $X$ 中支撑在纤维上的二维 Gieseker 稳定层的 Donaldson-Thomas 不变量。类比于 Maulik-Pandharipande 工作中建立的 Gromov-Witten 理论公式，我们将这些不变量表示为 K3 曲面上点的 Hilbert 方案的欧拉示性数与纤维化的 Noether-Lefschetz 数，并证明了这些不变量具有模性质。(2) $X$ 是 $\mathbb{P}^2$ 的典范丛的全空间。我们研究了 Joyce-Song 定义的 $X$ 上第一陈类等于 $k$ 倍 $X$ 零截面类的二维 Gieseker 半稳定层模空间的广义 Donaldson-Thomas 不变量。当 $k=1,2$ 或 $3$，且半稳定性蕴含稳定性时，我们将这些不变量用已知的模形式表示。我们证明了在存在严格半稳定层的情况下 $k=2$ 时不变量的组合公式，并在某些情形下验证了 Joyce-Song 的 BPS 整性猜想。(3)（与 Richard Thomas 合作）$X$ 是 Calabi-Yau 三维流形，$L$ 是充分正的线丛。我们定义了新的不变量以计数一类受限的二维挠层，枚举 $X$ 中的对 $(Z,H)$，其中 $H$ 是线性系 $|L|$ 的成员，$Z$ 是 $H$ 的一维子概形。相关的层是 $Z$ 在 $H$ 中的理想层，前推到 $X$ 并被视为 $X$ 导出范畴中的特定 Joyce-Song 对。我们将这些不变量用 $X$ 的 MNOP 不变量表示。