全纯辛 4-折的 Gopakumar-Vafa 型不变量

利用约化 Gromov-Witten 理论，我们定义新的不变量以刻画全纯辛 4-折上曲线的计数几何。这些不变量类比于 Gopakumar 与 Vafa 对 Calabi-Yau 3-折、Klemm 与 Pandharipande 对 Calabi-Yau 4-折、Pandharipande 与 Zinger 对 Calabi-Yau 5-折的 BPS 计数。我们猜想我们的不变量为整数，并给出基于一维稳定层约化 $4$ 维 Donaldson-Thomas 不变量的层论解释。我们在两个 $K3$ 曲面的乘积以及 $\mathbb{P}^2$ 的余切丛上验证了猜想。模去猜想的全纯反常方程，我们还计算了 $K3$ 曲面上两点 Hilbert 格式的不变量。这给出关于 $K3^{[2]}$ 型极一般超kähler 4-折上最小次数孤立亏格 $2$ 曲线数的猜想公式。该公式可视为关于 $K3$ 曲面上有理曲线计数的经典 Yau-Zaslow 公式的 $4$ 维类比。在计算过程中，我们还推导了 $K3$ 曲面点 Hilbert 格式与广义 Kummer 簇切丛陈类的 Fujiki 常数的新闭公式。