关于 $G_2$ 流形中结合 3-流形计数的猜想

紧致无挠 $G_2$ 流形 $(X,\varphi,*\varphi)$ 与 Calabi-Yau 3-流形 $(Y,J,g,\omega)$ 之间有很强的类比。我们还可以将 $(X,\varphi,*\varphi)$ 推广到“驯化近 $G_2$ 流形” $(X,\varphi,\psi)$，其中我们将 $\varphi$ 与 $\omega$ 比较，$\psi$ 与 $J$ 比较。$X$ 中的结合 3-流形是一种特殊的最小子流形，类似于 $Y$ 中的 $J$-全纯曲线。辛几何的几个领域——Gromov-Witten 理论、量子上同调、Lagrangian Floer 上同调、Fukaya 范畴——都是通过“计数” $Y$ 中 $J$-全纯曲线的模空间建立的，但给出的答案仅依赖于辛流形 $(Y,\omega)$，而不依赖于（近）复结构 $J$。我们研究是否可能通过“计数”紧致结合 3-流形 $N\subset X$ 来定义驯化近 $G_2$ 流形 $(X,\varphi,\psi)$ 的有趣不变量，使得这些不变量仅依赖于 $\varphi$，并且独立于用于定义结合 3-流形的 4-形式 $\psi$。我们猜想可以定义一个超势 $\Phi_\psi:{\mathcal U}\to\Lambda_{>0}$，“计数”结合 $\mathbb Q$-同调 3-球面 $N\subset X$，该超势在固定 $\varphi$ 下关于 $\psi$ 是形变不变的，直到基 ${\mathcal U}=$Hom$(H_3(X;{\mathbb Z}),1+\Lambda_{>0})$ 的某些重新参数化 $\Upsilon:{\mathcal U}\to{\mathcal U}$，其中 $\Lambda_{>0}$ 是 Novikov 环。利用这一点，我们定义了“$G_2$ 量子上同调”的概念。这些想法可能与 $G_2$ 流形上的弦理论或 M 理论相关。我们还讨论了 Donaldson 和 Segal 在 arXiv:0902.3239 第 6.2 节中的提议，即定义“计数”驯化近 $G_2$ 流形 $(X,\varphi,\psi)$ 上 $G_2$ 瞬子的不变量，并带有“补偿项”计数加权对（一个 $G_2$ 瞬子和一个结合 3-流形），并建议对其进行一些修改。