关于特殊拉格朗日同调 3-球面的计数

我们尝试通过计数（近）卡拉比-丘 3 折 M 中每个 3-同调类里的特殊拉格朗日有理同调 3-球面 N，并赋予依赖于 N 拓扑的某一权函数 w(N)，来定义（近）卡拉比-丘 3 折 M 的一个新不变量 I。这受辛流形的格罗莫夫-威滕不变量启发，后者计数每个 2-同调类中的 J-全纯曲线。为使该不变量有意义，它应在（近）卡拉比-丘底层结构的形变下不变，或在近卡拉比-丘结构的周期穿过 M 上同调中某些由拓扑决定的超曲面时按某严格规则变换。当我们形变底层近卡拉比-丘 3 折时，特殊拉格朗日同调 3-球面的集合仅在其变得奇异时才改变。因此，为确定该不变量在形变下的稳定性，我们需要了解特殊拉格朗日 3 折的奇异行为，而这尚未被很好理解。我们描述了特殊拉格朗日 3 折的两种奇异行为，并推导了权函数 w(N) 在满足这两种行为时使 I 不变或良好变换的恒等式。权函数 w(N)=|H_1(N,Z)| 满足这些恒等式。我们猜想以此权定义的不变量 I 独立于凯勒类，并随全纯 3-形式穿过 H^3(M,C) 中某些实超曲面而以特定方式改变。最后我们考虑与弦理论的联系。我们认为我们的不变量 I 计数孤立的 3-膜，并且它应在卡拉比-丘 3 折的镜像对称情形中发挥作用。