椭圆轨道折叠的 Hurwitz 理论，II

椭圆轨道折叠是椭圆曲线除以有限群的商。2001 年，Eskin 和 Okounkov 证明了具有指定分歧的椭圆曲线分支覆盖数的生成函数是 $SL_2(\mathbb{Z})$ 的拟模形式。2006 年，他们将这一定理推广到椭圆曲线除以 $\pm 1$ 的商的分支覆盖枚举，证明了关于 $\Gamma_1(2)$ 的拟模性。2017 年，作者将他们的工作推广到椭圆曲线除以 $\langle \zeta_N\rangle$（$N=3, 4, 6$）的商，证明了关于 $\Gamma_1(N)$ 的拟模性。在这些工作中，Eskin-Okounkov 与作者都不得不假设至少存在一个阶为 $N$ 的轨道折叠点，且其上无分歧。此处我们去掉该假设，但附带条件是生成函数仅为 $\Gamma(N)$ 的拟模形式。我们推出如下推论：设 $h_6(\vec{\kappa},q)$ 为生成函数，其 $q^n$ 系数为具有 $2n$ 个三角形的曲面三角剖分数，使得非零曲率集合为 $\kappa_i$。此处顶点的曲率为其价数之差六。则在代换 $q=e^{2\pi i \tau}$ 下，函数 $h_6(\vec{\kappa},q)$ 是 $\Gamma_1(6)$ 的拟模形式，其权由 $\vec{\kappa}$ 界定。这一陈述进而蕴含任意六次微分层的 Masur-Veech 体积关于 $\pi$ 是多项式的。