椭圆轨形簇的Hurwitz理论（一）

椭圆轨形簇是椭圆曲线被有限群作用的商空间。Eskin和Okounkov证明了具有指定分歧的椭圆曲线分支覆盖数的生成函数是关于全模群$SL_2(\mathbb{Z})$的拟模形式。他们后来将此定理推广到枕形簇（即椭圆曲线被椭圆对合作用的商空间）的分支覆盖计数，证明了关于$\Gamma_1(2)$的拟模性。我们将他们的工作推广到椭圆曲线被$N=3$、$4$、$6$阶循环群作用的商空间，证明了关于级$\Gamma_1(N)$的拟模性。一个推论是，紧曲面的六边形、正方形和三角形铺砌的某些生成函数是拟模的。这些铺砌枚举了平坦曲面模空间中的格点。我们分析了当铺砌数量趋于无穷时的渐近行为，从理论上给出了计算三次、四次和六次微分模空间的Masur-Veech体积的算法。我们还推导出该体积是$\pi$的多项式。