超越贝里相位：量子态的外在几何

考虑一组由参数空间 $M$ 中的参数 $x$ 所参数化的量子态 $| \psi(x) \rangle$。我们展示了该量子态流形的所有几何性质如何由一个标量规范不变的 Bargmann 不变量 $P^{(3)}(x_1, x_2, x_3)=\operatorname{tr}[P(x_1) P(x_2)P(x_3)]$ 完全描述，其中 $P(x) = |\psi(x)\rangle \langle\psi(x)|$。在数学上，$P(x)$ 定义了一个从 $M$ 到复射影空间 $\mathbb{C}P^n$ 的映射，且该映射由 $P^{(3)}(x_1,x_2,x_3)$ 唯一确定，至多差一个对称变换。相位 $\arg P^{(3)}(x_1,x_2,x_3)$ 可用于计算 $M$ 中任意闭合回路的贝里相位，然而，如我们所证，它包含无法由任何贝里相位确定的其他信息。当 $P^{(3)}(x_1,x_2,x_3)$ 的自变量 $x_i$ 彼此接近时，到主导阶，它退化为熟悉的贝里曲率 $\omega$ 和量子度规 $g$。我们表明该展开中的高阶项在功能上独立于 $\omega$ 和 $g$，并与 $M$ 到 $\mathbb{C}P^n$ 映射的外在性质相关，从而产生新的局域规范不变对象，例如完全对称的三阶张量 $T$。最后，我们展示了我们的结果在现代极化理论、调制场电响应计算以及平带物理中的直接应用。