时间分数 Cahn--Hilliard 方程的松弛步长比约束：分析与计算

时间分数微分方程的数值解面临着初始时间处解的奇异性带来的重大挑战。为此目的，构建满足 $\tau_k/\tau_{k-1} \geq 1$ 的非均匀时间网格已成为有效策略，其中 $\tau_k$ 表示第 $k$ 个时间步长。对于时间分数 Cahn--Hilliard 方程，Liao 等人 [《IMA J. Numer. Anal.》, \textbf{45} (2025), 1425--1454] 建立了使用步长比约束 $0.3960 \leq \tau_k/\tau_{k-1} \leq r^*(\alpha)$ 的可变步长 L2 公式的分析框架，其中 $r^*(\alpha) \geq 4.660$ 当 $\alpha \in (0,1)$。本文在理论上取得重要进展，通过引入创新的分裂技术，将步长比限制放宽至 $\tau_k/\tau_{k-1} \leq \rho^*(\alpha)$，其中 $\rho^*(\alpha) > \overline{\rho} \approx 4.7476114$。这一进展为时间步长选择提供了显著更大的灵活性。建立在这一理论基础之上，我们提出了一种精细化的 L2 类型时间近似方法，结合四阶紧凑差分空间离散，构建了一个高效的数值方案，用于求解时间分数 Cahn--Hilliard 问题。我们的严格分析确立了该方案的基本性质，包括唯一可解性、离散体积守恒、恰当的能量耗散律以及最优收敛率。对于实际实现，我们构造了一种特殊的非均匀网格，自动满足松弛约束 $\rho^*(\alpha) > 4.7476114$。