利用多层网格波形松弛方法求解时间分数阶热方程时分层矩阵的应用

本文研究在非均匀时间网格上离散的时间分数阶热方程的高效数值求解。非均匀网格对于捕捉时间分数阶问题“典型”解的奇异性至关重要。我们提出了一种基于波形松弛技术的高效时空多层网格方法，该方法考虑了分数阶微分算子的非局部特性。为了保持在均匀网格情况下可获得的最优复杂度，我们通过其分层矩阵（${\cal H}$-matrix）表示来近似对应于时间离散的系数矩阵。具体而言，所提出方法的计算成本为 ${\cal O}(k N M \log(M))$，其中 $M$ 为时间步数，$N$ 为空间网格点数，$k$ 为控制 ${\cal H}$-matrix 近似精度的参数。通过一维和二维空间的数值实验，验证了该算法的效率与良好收敛性，这可以通过半代数模式分析在理论上加以证明。