时间分数阶热方程的多重网格波形松弛法

本文提出了一种高效且稳健的多重网格方法，用于求解时间分数阶热方程。由于分数阶微分算子的非局域特性，数值方法通常生成的方程组其系数矩阵是稠密的。因此，为这些问题的数值模拟设计高效求解器是一项困难的任务。我们基于波形松弛方法开发了一种时间并行多重网格算法，将其应用于时间分数阶问题显得非常自然，因为每个空间点的分数阶导数依赖于该点所有先前时刻的函数值。利用系数矩阵的类 Toeplitz 结构，所提出的多重网格波形松弛方法的计算成本为 $O(N M \log(M))$ 次运算，其中 $M$ 是时间步数，$N$ 是空间网格点数。我们还发展了一种半代数模式分析，从理论上证实了所获得的良好结果。文中给出了若干数值实验，包括具有非光滑解的示例以及一个在多孔介质中有应用的非线性问题。