Bramble–Pasciak–Xu预处理器多项式维数依赖分析
数值分析
2025-12-09 v1 数值分析
摘要
我们研究了Bramble–Pasciak–Xu（BPX）预处理器对高维偏微分方程的维数依赖，并建立了BPX预处理系统的条件数仅随空间维数多项式增长。我们的分析需要仔细推导有限元方法理论中若干基本工具的维数依赖，包括椭圆正则性、Bramble–Hilbert引理、迹不等式和逆不等式。我们进一步在有限元空间中引入了一种新的拟插值算子，它是经典Scott–Zhang插值的变体，其相关常数随维数多项式缩放。基于这些要素，我们证明了多重范数等价定理，并推导出具有显式多项式维数依赖界的BPX预处理器。这一结果对新兴量子计算方法具有显著意义：近期研究表明，BPX预处理器对维数的多项式依赖可为量子算法方法相对于经典对应方法带来指数加速。
引用
@article{arxiv.2512.06166,
title = {A polynomial dimension-dependence analysis of Bramble--Pasciak--Xu preconditioners},
author = {Boou Jiang and Jongho Park and Jinchao Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.06166},
year = {2025}
}
备注
27 pages, 0 figures