Newton-Okounkov 体视角下的 SOS 猜想

设 $z\in \mathbb C^n$ 为 $\mathbb C^n$ 上的复坐标，$A(z,\bar z)$ 为实值的 Hermitian 多项式。著名的 Ebenfelt 的 SOS 猜想询问在限制条件 $A(z,\bar z)\|z\|^2$ 为 SOS 的情况下，$A(z,\bar z)\|z\|^2$ 的最小秩。假设 $A(z,\bar z)$ 为 bihomogeneous 的。在本文中，我们在 Ebenfelt 的（弱）SOS 猜想与 Newton-Okounkov 体理论之间建立了联系。通过将猜想表述为关于 lattice 半群及其关联 Newton-Okounkov 凸体的问题，我们将寻找延长和平方和多项式最小秩的问题转化为凸几何中的极值问题。特别地，我们证明了该最小秩必然在特定 Newton-Okounkov 体的极点处达到。此外，若 $A(z,\bar z)$ 进一步为对角形式，我们展示了相关极点为有限个有理点，从而将验证该猜想的问题简化为可计算的可行问题。本工作为攻击 SOS 猜想提供了新的工具。