4 次广义椭球面的 Gram 矩阵刻画

在组合优化中研究最广泛的凸松弛之一是将割多面体 $\mathscr C^N$ 松弛到椭球面 $\mathscr E^N$，这对应于在超立方体 $\{\pm 1\}^N$ 上优化二次型的两阶平方和 (SOS) 松弛。我们研究这一经典思想到 4 阶 SOS 的推广，它给出了一个中间松弛，我们称之为 4 次广义椭球面 $\mathscr E_4^N$。我们的主要结果是向量集合的 Gram 矩阵属于 $\mathscr E_4^N$ 的充要条件。推论包括 2 阶与 4 阶伪矩矩阵之间的紧秩不等式，以及保证同时属于 $\mathscr E^N$ 和 $\mathscr E_4^N$ 的 $\mathscr E^N$ 的唯一极值点是割矩阵；即 $\mathscr E^N$ 与 $\mathscr E_4^N$ 不共享“伪”极值点。对于等角紧框架的 Gram 矩阵，我们给出属于 $\mathscr{E}_4^N$ 的简单判据。这产生了在 $\mathscr{E}_4^N$ 中满足但在 $\mathscr{E}^N$ 中不满足的新不等式，其结构与 Schl\"{a}fli 图相关且不能作为三角不等式的线性组合得到。我们还给出了 Laurent 一个结果限制到 4 次的新的证明，该结果表明 $\mathscr{E}_4^N$ 不满足某些捕获奇偶约束的割多面体不等式。尽管限于这一特殊情况，我们对 Laurent 伪矩矩阵半正定性的证明简短且初等。我们的技术也表明 $\mathscr{E}_4^N$ 中的隶属关系与分块矩阵上的部分转置操作密切相关，后者在量子纠缠研究中曾起重要作用。为说明，我们给出了某些纠缠二分量子态与 $\mathscr{E}_4^N\setminus\mathscr{C}^N$ 中矩阵之间的对应。