关于 Hermite 多项式的秩与 SOS 猜想

设 $z\in\mathbb C^n$，$\|z\|$ 为其欧氏范数。Ebenfelt 提出了一个关于形如 $A(z,\bar z)\|z\|^2$ 的 $z,\bar z$ 的 Hermite 多项式可能秩的猜想，即 SOS 猜想，其中 SOS 代表“平方和”。本文运用并推广了近期为局部正交映射发展的技术来研究该猜想及其对任意符号的推广。我们证明了对于给定的 $\mathbb C^n$ 上任意具有至少两个非零特征值的符号为 $\langle\cdot,\cdot\rangle_\star$ 的 Hermite 形式，形如 $A(z,\bar z)\|z\|^2_\star$ 的 Hermite 多项式的秩不会落在实线上有限个非平凡间隙中。这不仅与 SOS 猜想一致，而且表明事实上该猜想在除平凡符号外的所有符号下定性成立。此外，这些间隙可依据 $n$ 与 $\langle\cdot,\cdot\rangle_\star$ 的符号显式计算，且此类间隙的数量及其大小与 SOS 猜想中所述同阶。