Newton--Okounkov 体与簇簇体的极小模型

设 $Y$ 为具有簇结构的概型 $V$ 的（部分）极小模型。在自然假设下，对每一组种子，我们为 $Y$ 上支撑于 $Y \setminus V$ 的每个除子关联一个 Newton--Okounkov 体，并证明这些 Newton--Okounkov 体在 Gross、Hacking、Keel 和 Kontsevich \cite{GHKK} 意义下为正集。该构造本质上逆转了前述文献中将环簇的多面体构造推广到簇簇体框架的过程。在一个紧密相关的情形中，我们考虑 $Y$ 为射影簇且其通用环覆 $\text{UT}_Y$ 是具 $\mathcal A$ 型簇结构的概型的部分极小模型。若由相关超势锥的整数点参数化的 theta 函数在 $\text{UT}_Y$ 的代数函数环中构成一组基，且环面 $T_{\text{Pic}(Y)^*}$ 在 $\text{UT}_Y$ 上的作用与簇结构相容，则对每一组种子，我们为 $Y$ 上的每个线丛关联一个 Newton--Okounkov 体。我们证明任一这样的 Newton--Okounkov 体均为正集，且 $Y$ 是簇 $\mathcal A$-簇除以环面作用的商之极小模型。我们的构造引出了与具有簇结构的概型的部分极小模型中边界除子相关的内禀 Newton--Okounkov 体之概念。这提供了一大类展现 Escobar--Harada \cite{EH20} 意义下穿墙现象的 Newton-Okoukov 体例子。该方法包含了作为簇簇体极小模型出现的部分旗簇。对于 Grassmann 簇的情形，我们的方法在有趣的单模等价意义下恢复了 Rietsch--Williams 在 \cite{RW} 中构造的 Newton--Okounkov 体。